Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=

1

2

AA1，點G為CC₁上的點，且CG=

1

4

CC1．求證：CD₁⊥平面ADG．

Answer 1

分析：有長方體的性質可得AD⊥平面CDD₁C₁，AD⊥CD₁．再根據tan∠DD₁C=tan∠CDG=

1

2

，可得∠DD₁C=∠CDG，
故有△DCO∽△D₁DC，∠D₁DC=

π

2

=∠COD，即DG⊥CD₁．再利用直線和平面垂直的判定定理證得CD₁⊥平面ADG．

解答：證明：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由于AD⊥平面CDD₁C₁，而CD₁?平面CDD₁C₁，∴AD⊥CD₁．
設CD₁∩DG=O，顯然∠DCD₁=∠OCD．
由于AB=AD=

1

2

AA1，點G為CC₁上的點，且CG=

1

4

CC1，設AB=AD=1，
則DD₁=2，CG=

1

2

．
直角三角形DD₁C中，tan∠DD₁C=

CD

DD1

=

1

2

，
直角三角形CDG中，tan∠CDG=

CG

CD

=

1 2

1

=

1

2

，
∴∠DD₁C=∠CDG，∴△DCO∽△D₁DC，∴∠D₁DC=∠COD．
再由長方體中，∠D₁DC=

π

2

，∴∠COD=

π

2

，∴DG⊥CD₁．
這樣，在平面平面ADG中，有兩條相交直線都和CD₁垂直，故CD₁⊥平面ADG．

點評：本題主要考查直線和平面垂直的判定定理的應用，直角三角形中的邊角關系，屬于中檔題．