Question

設f(x)=(

x+1

x

)2（x＞0）．
（1）求f（x）的反函數f^-1（x）
（2）若x≥2時，不等式(x-1)f-1(x)＞a(a-

x

)恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）從條件中函數式f(x)=(

x+1

x

)2=y，（x＞0）中反解出x，再將x，y互換即得f（x）的反函數f^-1（x）．
（2）利用（1）的結論，將不等式(x-1)f-1(x)＞a(a-

x

)化成(a+1)

x

＞a2-1，下面對a分類討論：①當a+1＞0；②當a+1＜0．分別求出求實數a的取值范圍，最后求它們的并集即可．

解答：解：（1）∵y=(

x+1

x

)2=(1+

1

x

)2（x＞0）∴y＞1（2分）
由原式有：

x+1

x

=

y

∴x+1=

y

x
∴x=

1

y -1

（2分）
∴f-1(x)=

1

x -1

x∈（1，+∞）（2分）
（2）∵(x-1)f-1(x)＞a(a-

x

)
∴(x-1)

1

x -1

＞a(a-

x

)（x＞0）
∴(

x

+1)(

x

-1)

1

x -1

＞a(a-

x

)
∴

x

+1＞a2-a

x

∴(a+1)

x

＞a2-1（2分）
①當a+1＞0即a＞-1時

x

＞a-1對x≥2恒成立-1＜a＜

2

+1
②當a+1＜0即a＜-1時

x

＜a-1對x≥2恒成立
∴a＞

2

+1此時無解（3分）
綜上-1＜a＜

2

+1-（1分）

點評：本小題主要考查反函數、函數恒成立問題等基礎知識，考查運算求解能力．求反函數，一般應分以下步驟：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交換x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函數的定義域（一般可通過求原函數的值域的方法求反函數的定義域）．