Question

已知函數f（x）=lnx+cosx（x∈[π，2π]）．
（1）判斷函數f（x）的單調性，并求函數f（x）的值域；
（2）證明方程f（x）=x-π在[π，2π]上必有一根．

Answer 1

分析：（1）先確定[π，2π]內，f₁（x）=lnx是增函數，f₂（x）=cosx也是增函數，即可得到函數f（x）的單調性，從而可求函數f（x）的值域；
（2）構造函數g（x）=f（x）-x+π=lnx+cosx-x+π，驗證g（π）•g（2π）＜0，利用零點存在定理，即可得到結論．

解答：解：（1）[π，2π]內，f₁（x）=lnx是增函數，f₂（x）=cosx也是增函數，…（2分）
∴f（x）=lnx+cosx在[π，2π]內是增函數．…（3分）
∴fmin(x)=f(π)=lnπ-1=ln

π

e

，f_max（x）=f（2π）=ln2π+1=ln2πe，…（5分）
∴函數f（x）的值域是[ln

π

e

，ln2πe]．…（6分）
（2）設g（x）=f（x）-x+π=lnx+cosx-x+π，…（8分）
由g（π）=lnπ-1＞lne-1=0，g（2π）=ln2π+1-π＜lne²+1-π=3-π＜0，…（12分）
∵g（π）•g（2π）＜0，…（13分）
∴方程f（x）=x-π在[π，2π]必有一根．…（14分）

點評：本題考查函數的單調性，考查函數的值域，考查函數零點存在定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．