Question

設復數β=x+yi（x，y∈R）與復平面上點P（x，y）對應．
（1）若β是關于t的一元二次方程t²-2t+m=0（m∈R）的一個虛根，且|β|=2，求實數m的值；
（2）設復數β滿足條件|β+3|+（-1）ⁿ|β-3|=3a+（-1）ⁿa（其中n∈N^*、常數），當n為奇數時，動點P（x、y）的軌跡為C₁．當n為偶數時，動點P（x、y）的軌跡為C₂．且兩條曲線都經過點，求軌跡C₁與C₂的方程；
（3）在（2）的條件下，軌跡C₂上存在點A，使點A與點B（x，0）（x＞0）的最小距離不小于，求實數x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由實系數方程虛根成對，利用韋達定理直接求出m的值．
（2）方法一：分n為奇數和偶數，化出a的范圍，聯立雙曲線方程，求出a值，推出雙曲線方程即可．
方法二：由題意分a的奇偶數，聯立方程組，求出復數β，解出a，根據雙曲線的定義求出雙曲線方程．
（3）設點A的坐標，求出|AB|表達式，根據x范圍，x的對稱軸討論，時，|AB|的最小值，不小于，求出實數x的取值范圍．
解答：解：（1）β是方程的一個虛根，則是方程的另一個虛根，（2分）
則，所以m=4（2分）
（2）方法1：①當n為奇數時，|α+3|-|α-3|=2a，常數），
軌跡C₁為雙曲線，其方程為；（2分）
②當n為偶數時，|α+3|+|α-3|=4a，常數），
軌跡C₂為橢圓，其方程為；（2分）
依題意得方程組
解得a²=3，
因為，所以，
此時軌跡為C₁與C₂的方程分別是：，．（2分）
方法2：依題意得（2分）
軌跡為C₁與C₂都經過點，且點對應的復數，
代入上式得，（2分）
即對應的軌跡C₁是雙曲線，方程為；
對應的軌跡C₂是橢圓，方程為．（2分）
（3）由（2）知，軌跡C₂：，設點A的坐標為（x，y），
則
=，
（2分）
當即時，
當即時，，（2分）
綜上或．（2分），
點評：本題考查復數的基本概念，軌跡方程，直線與圓錐曲線的綜合問題，考查分類討論思想，轉化思想，是中檔題．