Question

已知斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側面A₁ACC₁與底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C。

（Ⅰ）求側棱A₁A與底面ABC所成角的大小；

（Ⅱ）求側面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求頂點C到側面A₁ABB₁的距離。

Answer 1

 解：（Ⅰ）作A₁D⊥AC，垂足為D，

由面A₁ACC₁⊥面ABC，得A₁D⊥面ABC， ∴∠A₁AD為A₁A與面ABC所成的角。

∵AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C， ∴∠A₁AD＝45°為所求。

（Ⅱ）作DE⊥AB，垂足為E，連A₁E，則由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB。 ∴∠A₁ED是面A₁ABB₁與面ABC所成二面角的平面角。

由已知，AB⊥BC，得ED∥BC。又D是AC的中點，BC＝2，AC＝2， ∴DE＝1，AD＝A₁D＝ ，tgA₁ED＝A₁D/DE= 。故∠A₁ED＝60°為所求。

（Ⅲ）解法一：由點C作平面A₁ABB₁的垂線，垂足為H，則CH的長是C到平面A₁ABB₁的距離。

連結HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB。 又A₁E⊥AB，

知HB∥A₁E，且BC∥ED， ∴∠HBC＝∠A₁ED＝60°。 ∴CH＝BCsin60°＝為所求。

解法二：連結A₁B。 根據定義，點C到面A₁ABB₁的距離，即為三棱錐C－A₁AB的高h。

由V錐C－A₁AB＝V錐A₁－ABC得1/2S△AA₁Bh＝1/2S△ABCA₁D，

即 1/3×2h=1/3×2×，∴h=為所求。