Question

（Ⅰ）求證

2

-

3

＜

6

-

7

；
（Ⅱ）△ABC的三邊a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證B＜

π

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）只要證 

2

+

7

＜

6

+

3

，只要證 (

2

+

7

)2＜(

3

+

6

)2，只要證2

14

＜2

18

．
（Ⅱ）由于△ABC的三邊a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，故b邊不是最大邊，也不是最小邊，故B＜

π

2

．

解答：證明：（Ⅰ）要證

2

-

3

＜

6

-

7

，只要證 

2

+

7

＜

6

+

3

，
只要證 (

2

+

7

)2＜(

3

+

6

)2，只要證2

14

＜2

18

，只要證 14＜18 即可．
而14＜18顯然成立，故要證的不等式成立．
（Ⅱ）∵△ABC的三邊a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，∴

2

b

=

1

a

+

1

c

，故b邊不是最大邊，也不是最小邊．
若B≥

π

2

，則最大邊所對的角大于

π

2

，這與三角形內(nèi)角和相矛盾，故B＜

π

2

．

點評：本題考查用分析法證明不等式，等差數(shù)列的定義，以及三角形中大邊對大角，判斷b邊不是最大邊，也不是最小邊，是解題的關鍵．