Question

已知函數f（x）=ax²-g^x（a∈R），f′（x）是f（x）的導函數（g為自然對數的底數）
（Ⅰ）解關于x的不等式：f（x）＞f′（x）；
（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點x₁，x₂，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）求導數可得f′（x）=2ax-g^x，∴f（x）-f′（x）=ax（x-2）…（4分）
原不等式等價于f（x）-f′（x）=ax（x-2）＞0，
當a=0時，無解； …（5分）
當a＞0時，解集為{x|x＜0，或x＞2}； …（6分）
當a＜0時，解集為{x|0＜x＜2} …（7分）
（Ⅱ）設g（x）=f′（x）=2ax-g^x，
則x₁，x₂是方程g（x）=0的兩個根，則g′（x）=2a-g^x…（9分）
若a≤0時，g′（x）＜0恒成立，g（x）單調遞減，方程g（x）=0不可能有兩個根…（11分）
若a＞0時，由g′（x）=0，得x=ln2a，
當x∈（-∞，ln2a）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，
當x∈（ln2a，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減 …（13分）
∴g_max（x）=g（ln2a）=2aln2a-2a＞0，解得a＞ …（15分）
分析：（Ⅰ）原不等式等價于ax（x-2）＞0，分a=0，a＞0，和a＜0討論可得；
（Ⅱ）設g（x）=f′（x），則x₁，x₂是方程g（x）=0的兩個根，求導數可得g′（x），若a≤0時，不合題意，若a＞0時，求導數可得單調區間，進而可得最大值，可得關于a的不等式，解之可得．
點評：本題考查利用導數研究函數的極值，涉及分類討論的思想，屬中檔題．