Question

已知a是給定的實常數，設函數f(x)＝(x－a)²(x＋b)e²，b∈R，x＝a是f(x)的一個極大值點．

(Ⅰ)求b的取值范圍；

(Ⅱ)設x₁，x₂，x₃是f(x)的3個極值點，問是否存在實數b，可找到x₄∈R，使得x₁，x₂，x₃，x₄的某種排列(其中{i₁，i₂，i₃，i₄}＝{1，2，3，4})依次成等差數列？若存在，求所有的b及相應的x₄；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

本題主要考查函數極值的概念、導數運算法則、導數應用及等差數列等基礎知識，同時考查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創新意識． 　　(Ⅰ)解：f’(x)＝ex(x－a) 　　令 　　于是，假設 　　(1)當x1＝a 或x2＝a時，則x＝a不是f(x)的極值點，此時不合題意． 　　(2)當x1a且x2a時，由于x＝a是f(x)的極大值點，故x1＜a＜x2． 　　即 　　即 　　所以b＜－a 　　所以b的取值范圍是(－∞，－a) 　　 　　此時 　　或 　　(2)當時，則或 　　 　　于是 　　 　　 　　此時 　　綜上所述，存在b滿足題意， 　　當b＝－a－3時， 　　時， 　　時，