Question

15、設直角三角形的兩直角邊的長分別為a，b，斜邊長為c，斜邊上的高為h，則有a+b＜c+h成立，某同學通過類比得到如下四個結論：①a²+b²＞c²+h²；②a³+b³＜c³+h³；③a⁴+b⁴＞c⁴+h⁴；④a⁵+b⁵＜c⁵+h⁵．
其中正確結論的序號是

②④

；進一步類比得到的一般結論是

aⁿ+bⁿ＜cⁿ+hⁿ（n∈N^*）

．

Answer 1

分析：由a+b＜c+h成立，我們可以類比給出a³+b³＜c³+h³；a⁴+b⁴＜c⁴+h⁴；a⁵+b⁵＜c⁵+h^5等，再逐一分析它們的真假，再根據其中的規律，歸納猜想出一般性的結論．

解答：解：在直角三角形ABC中，a=csinA，b=ccosA，ab=ch，所以h=csinAcosA．
于是aⁿ+bⁿ=cⁿ（sinⁿA+cosⁿA），cⁿ+hⁿ=cⁿ（1+sinⁿAcosⁿA）．aⁿ+bⁿ-cⁿ-hⁿ=cⁿ（sinⁿA+cosⁿA-1-sinⁿAcosⁿA）=cⁿ（sinⁿA-1）（1-cosⁿA）＜0．
所以aⁿ+bⁿ＜cⁿ+hⁿ（n∈N^*）．

點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）