Question

如圖，正△ABC的中線AF與中位線DE相交于點G，已知△A′DE是△AED繞邊DE旋轉過程中的一個圖形．
（I）求證點A′在平面ABC上的射影在線段AF上；
（II）求當A′E⊥BD時△A′DE所轉過的角的大小．

Answer 1

分析：（I）根據線面垂直的判定定理可知DE⊥平面A'GA，而DE∥A'H從而得到A'H⊥平面ABC，最終說明了點A′在平面ABC上的射影在線段AF上；
（II）易知點H為正△ADE的中心，根據二面角平面角的定義可知∠A'GA是二面角A'-DE-A的平面角，在三角形而A'GA中求出此角，而二面角A'-DE-A的大小即為當AE⊥BD時，△A'DE所旋轉過的角的大小．

解答：解：（I）在平面A’FA內過點A’作A’H⊥AF，垂足為H
因為DE⊥AF，DE⊥A'G?DE⊥平面A'GA（4分）
所以DE∥A'H?A'H⊥平面ABC（6分）
即點A′在平面ABC上的射影在線段AF上（7分）
（II）由（I）知A'H⊥平面ABC，
又A′E⊥BD，所以EH⊥BD（9分）
則點H為正△ADE的中心，所以HG=

1

3

AG=

1

3

A'G
因為DE⊥AF，DE⊥A'G?∠A'GA是二面角A'-DE-A的平面角．（11分）
而cos∠A′GA=

HG

A′G

=

1

3

，
所以二面角A'-DE-A的大小為arccos

1

3

（13分）
二面角A'-DE-A的大小即為當AE⊥BD時，△A'DE所旋轉過的角的大小．
故所求角等于arccos

1

3

（14分）

點評：本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，以及二面角的度量，考查空間想象能力，幾何邏輯推理能力，以及計算能力．