Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，
（1）求證：BD⊥平面ACC₁A；
（2）若O是A₁C₁ 的中點，求證：AO∥平面BDC₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直線與平面垂直的判定定理直接求證BD⊥平面ACC₁A；
（2）O是A₁C₁ 的中點，連結底面AC與BD的交點P與C₁，證明AO∥PC₁，即可求證：AO∥平面BDC₁．
解答：（12分）證明：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，易知BD⊥AC，A₁A⊥平面ABCD
∵BD?平面ABCD
∴BD⊥A₁A
而AC∩A₁A=A
∴BD⊥平面ACC₁A…（6分）
（2）連結底面AC與BD的交點P與C₁，因為P是AC的中點，O是A₁C₁ 的中點，
所以四邊形APC₁O是平行四邊形，所以AO∥PC₁，
又PC₁，?平面BDC₁，AO?平面BDC₁…（11分）
所以AO∥平面BDC₁．（12分）
點評：本題考查直線與平面平行的判定定理，直線與平面垂直的判定定理的應用，考查邏輯推理能力，空間想象能力．