Question

如圖P是△ABC所在平面外一點，PA=PB，CB⊥平面PAB，M是PC的中點，N是AB上的點，AN=3NB．其中Q是PB中點，S是AB的中點．求證：
（1）AB⊥平面MNQ
（2）MN⊥AB．

Answer 1

分析：（1）依題意，連結MQ，NQ，可證MQ⊥平面PAB，從而可得MQ⊥AB，再利用PA=PB，AN=3NB，S是AB的中點可證得QN⊥AB，利用線面垂直的判定定理即可證得結論；
（2）利用線面垂直的性質定理即可．

解答：證明：（1）∵PB的中點為Q，連結MQ，NQ，
∵M是PC的中點，
∴MQ∥BC，
∵CB⊥平面PAB，
∴MQ⊥平面PAB，
∴MQ⊥AB，①
又S是AB的中點，連結QS，則QS∥PA；
∵PA=PB，
∴PS⊥AB；
∴又AN=3NB，
∴BN=NS，
∴QN∥PS，
∴QN⊥AB，②
MQ∩QN=Q，③
由①②③知AB⊥平面QMN；
（2）由（1）知AB⊥平面QMN，又MN?平面QMN，
∴MN⊥AB．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定定理與性質定理的應用，考查推理、證明的能力，屬于中檔題．