Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期為π，當x=

π

2

時，f（x）取得最小值-2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，若f（A）=-1，

AB

•

AC

=6，求邊BC的最小值．．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據函數的最值求出A=2，根據函數f（x）的周期求出ω，再由當x=

π

2

時，f（x）取得最小值-2，
求出φ，從而得到f（x）的解析式．
（Ⅱ） f（A）=-1 求得A，再由

AB

•

AC

=6，進一步確定A的值，利用余弦定理求出邊BC的最小值．

解答：解：（Ⅰ）依題意得，A=2，函數f（x）的周期為π，∵ω＞0，∴ω=

2π

π

=2．（3分）
又2sin(2×

π

2

+φ)=-2，∴φ=

π

2

+kπ(k∈Z)，∵0＜φ＜π，∴φ=

π

2

，（5分）
∴f(x)=2sin(2x+

π

2

)=2cos2x．（6分）
（Ⅱ）∵f(A)=cos2A=-

1

2

，0＜2A＜2π，∴A=

π

3

，或A=

2π

3

．（8分）
又

AB

•

AC

=6，即|

AB

|•|

AC

|cosA=6＞0，∴A=

π

3

，|AB|•|AC|=12．（9分）
∵|BC|²=|AB|²+|AC|²-2|AB|•|AC|cosA=|AB|²+|AC|²-|AB|•|AC|≥|AB|•|AC|=12，
∴BC的最小值為2

3

．（12分）

點評：本題考查三角函數的周期性及其求法，兩個向量的數量積的定義，三角函數的最值、余弦定理的應用，
求出函數的解析式，屬于中檔題．
是解題的突破口．