Question

（2013•虹口區(qū)二模）設(shè)a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），稱a₁a₂a₃…a_k為整數(shù)的k為“希望數(shù)”，則在

1，2013

內(nèi)所有“希望數(shù)”的個數(shù)為

9

．

Answer 1

分析：先利用換底公式與疊乘法把a₁•a₂•a₃…a_k化為log₂（k+2），再根據(jù)a₁•a₂•a₃…a_k為整數(shù)，可得k=2ⁿ-2，進而由2ⁿ-2＜2013可得結(jié)論．

解答：解：∵a_n=log_n+1（n+2）=

log2(n+2)

log2(n+1)

∴a₁•a₂•a₃…a_k=

log23

log22

×

log24

log23

×…×

log2(k+2)

log2(k+1)

=log₂（k+2），
又∵a₁•a₂•a₃…a_k為整數(shù)
∴k+2必須是2的n次冪（n∈N^*），即k=2ⁿ-2．
由2ⁿ-2＜2013，得2ⁿ＜2015．解得n＜10，又n∈N^*，∴n=9．
∴k∈（1，2013）內(nèi)所有的“希望數(shù)”的個數(shù)是9．
故答案為：9．

點評：本題考查新定義，考查了對數(shù)的換底公式，考查了疊乘法，訓練了學生的運算能力，是中檔題．