Question

如圖，棱長為a的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E，F分別是B₁C₁，C₁D₁的中點．

(1)求證：B，D，E，F四點共面；

(2)求四邊形EFDB的面積．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：如下圖所示，連接B1D1，BD，FD． 　　在△C1B1D1中，C1E＝EB1，C1F＝FD1，所以EF∥B1D1，且EF＝B1D1．因為B1B∥D1D，且B1B＝D1D， 　　所以四邊形BB1D1D是平行四邊形， 　　所以B1D1∥BD． 　　從而EF∥BD， 　　所以B，D，E，F四點共面． 　　(2)解：由AB＝a，知BD＝B1D1＝a，EF＝a，DF＝BE＝＝＝a． 　　由(1)知EF∥BD． 　　又BE＝DF，且BE與DF不平行， 　　故四邊形EFDB為等腰梯形． 　　過點F作FH⊥DB于點H， 　　則DH＝＝a． 　　所以FH＝ 　　＝＝ 　　＝a． 　　所以四邊形EFDB的面積