Question

（本小題滿分14分）
已知直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn)，，且點(diǎn)在直線上．
（１）求橢圓的離心率；
（２）若橢圓的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在單位圓上，求橢圓的方程．

Answer 1

（1）
（2）

解：
（1）有AN=-BN知M是AB的中點(diǎn)，
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)哦分別為、，
由 {  得
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，的
則．∴　點(diǎn)的坐標(biāo)為．…4分
又∵　點(diǎn)在直線上，∴　，　
∴　
∴　　　　　∴　橢圓的離心率　　…………………7分
（2）由（１）知，由圖形的對稱性可知只需考慮一個(gè)焦點(diǎn)即可．
不妨設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
則有　　，解得　…10分
由已知得　　　∴　　有，　∴　　．……１2分
又∴  ∴　所求的橢圓方程為．　……………１4分