Question

設點A為半徑是1的圓O上一定點，在圓周上等可能地任取一點B．
（1）求弦AB的長超過圓內接正三角形邊長的概率；
（2）求弦AB的長超過圓半徑的概率．

Answer 1

分析：（1）本題考查的知識點是幾何概型的意義，關鍵是要找出滿足條件弦AB的長度超過圓內接正三角形邊長的圖形測度，再代入幾何概型計算公式求解．
（2）根據已知中A是圓上固定的一定點，在圓上其他位置任取一點B，連接A、B兩點，它是一條弦，我們求出B點位置所有基本事件對應的弧長，及滿足條件AB長大于半徑的基本事件對應的弧長，代入幾何概型概率計算公式，即可得到答案．

解答：解：（1）設“弦AB的長超過圓內接正三角形邊長”為事件M，
以點A為一頂點，在圓中作一圓內接正三角形ACD，如右圖所示，
則要滿足題意點B只能落在劣弧CD上，又圓內接正三角形ACD恰好將圓周3等分，
故P（M）=

劣弧CD的長

圓周長

=

1

3

  
（2）在圓上其他位置任取一點B，圓半徑為1，
則B點位置所有情況對應的弧長為圓的周長2π，
其中滿足條件AB的長度大于等于半徑長度的對應的弧長為 

2

3

•2π•1，
則AB弦的長度大于等于半徑長度的概率P=

2 3 •2π•1

2π•1

=

2

3

．

點評：本題考查的知識點是幾何概型，其中根據已知條件計算出所有基本事件對應的幾何量及滿足條件的基本事件對應的幾何量是解答的關鍵．