Question

9．（1）求經過直線l₁：3x+2y-1=0和l₂：5x+2y+1=0的交點，且垂直于直線l₃：3x-5y+6=0的直線l的方程．
（2）已知圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x+4y+4=0與圓C相切，求圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）根據直線過兩條直線的交點，設出所求直線方程，再利用兩條直線互相垂直的關系，即可求出所求的直線方程；
（2）直線與圓相切，設圓心坐標為（a，0），則圓方程為（x-a）²+y²=4，由已知得d=R=2=$\frac{|3a+4|}{5}$，由此能求出圓C的方程．

解答 解：（1）設所求直線方程為3x+2y-1+λ（5x+2y+1）=0，
即（3+5λ）x+（2+2λ）y+（-1+λ）=0；
由所求直線垂直于直線l₃：3x-5y+6=0，得$\frac{3}{5}$•（-$\frac{3+5λ}{2+2λ}$）=-1，
解得λ=$\frac{1}{5}$，
故所求直線方程是5x-3y-1=0．
（2）直線與圓相切，設圓心坐標為（a，0），
則圓方程為：
（x-a）²+y²=4，
∵圓心與切點連線必垂直于切線，
根據點與直線距離公式，得d=R=2=$\frac{|3a+4|}{5}$，
解得a=2或a=-$\frac{14}{3}$，（因圓心在正半軸，不符合舍去）
∴a=2，
∴圓C的方程為：（x-2）²+y²=4．

點評 本題考查了直線方程的應用問題，考查圓的方程的求法，也考查了兩條直線相交與垂直的應用問題，是中檔題．