Question

13．已知a＞0，設命題p：函數y=a^x在R上單調遞減，q：設函數y=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2a（x≥2a）}\\{2a，（x＜2a）}\end{array}\right.$，函數y＞1恒成立，若p∨q為假，p∧q為真，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據條件求出命題p，q的等價條件，結合復合命題的真假關系進行求解即可．

解答 解：若p是真命題，則0＜a＜1，
若函數y＞1恒成立
即函數y_min=2a＞1，即a＞$\frac{1}{2}$，
若p∨q為假，p∧q為真，則p，q一真一假，
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{0＜a≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，得0＜a≤$\frac{1}{2}$，
若p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即a≥1，
綜上a≥1或0＜a≤$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查復合命題的真假關系的應用，根據條件求出命題p，q的等價條件是解決本題的關鍵．