Question

在銳角三角形ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C所對應的邊，向量

μ

=(a2+c2-b2 ，

3

ac)，

v

=(cosB，sinB)，且

μ

∥

v

．
（I）求角B；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據兩個向量的坐標，寫出兩個向量的共線的表示式，整理出能夠應用余弦定理的形式，得到角的正弦值，求出角．
（II）根據上一問的結果，寫出A，C之間的關系式，把要求的兩個角的正弦值的和，寫成一個角的形式，利用輔角公式化成能夠求函數值的形式，得到結果．

解答：解：（I）∵

μ

∥

v

，
∴(a2+c2-b2)sinB-

3

accosB=0．
又cosB=

a2+c2-b2

2ac

，
∴sinB=

3

2

，B∈(0，

π

2

)，
∴B=

π

3

．
（II）由（I）知A+C=

2π

3

，∴c=

2π

3

-A，
∴sinA+sinC=sinA+sin(

2π

3

-A)=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3

2

sinA+

3

2

cosA
=

3

sin(A+

π

6

)
又0＜A＜

π

2

且0＜

2π

3

-A＜

π

2

∴

π

6

＜A＜

π

2

，

π

3

＜A+

π

6

＜

2π

3

∴

3

2

＜sin(A+

π

6

)≤1，
∴sinA+sinC∈(

3

2

，

3

]

點評：本題考查三角函數的恒等變形，本題解題的關鍵是利用向量之間的關系寫出三角函數之間的關系，注意余弦定理的應用．