Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）上一點M（1，m）（m＞0）到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數a的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據拋物線的定義，可得點M到拋物線的準線x=-的距離也為5，即即|1+|=5，解可得p=8，可得拋物線的方程，進而可得M的坐標；根據雙曲線的性質，可得A的坐標與其漸近線的方程，根據題意，雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，可得=，解可得a的值，即可得答案．
解答：解：根據題意，拋物線y²=2px（p＞0）上一點M（1，m）（m＞0）到其焦點的距離為5，則點M到拋物線的準線x=-的距離也為5，
即|1+|=5，解可得p=8；即拋物線的方程為y²=16x，
易得m²=2×8=16，則m=4，即M的坐標為（1，4）
雙曲線的左頂點為A，則a＞0，且A的坐標為（-，0），
其漸近線方程為y=±x；
而K_AM=，
又由若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則有=，
解可得a=；
故選B．
點評：本題綜合考查雙曲線與拋物線的性質，難度一般；需要牢記雙曲線的漸近線方程、定點坐標等．