Question

已知數列滿足（為常數），成等差數列.

（Ⅰ）求p的值及數列的通項公式；

（Ⅱ）設數列滿足，證明：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）,；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用成等差數列.可求p的值，再用累加法求數列的通項公式；（Ⅱ）通過作差判斷數列的單調性或利用數學歸納法進行證明.

試題解析：（Ⅰ）由

得

∵成等差數列，

∴

即得               （2分）

依題意知，

當時，

 

相加得

∴

∴                       （4分）

又適合上式，                      （5分）

故                          （6分）

（Ⅱ）證明：∵∴

∵        （8分）

若則

即當時，有                   （10分）

又因為                     （11分）

故                          （12分）

（Ⅱ）法二：要證

只要證                      （7分）

下面用數學歸納法證明：

①當時，左邊=12，右邊=9，不等式成立；

當時，左邊=36，右邊=36，不等式成立.          （8分）

②假設當時，成立.        （9分）

則當時，左邊=4×3^k+1=3×4×3^k≥3×9k²，

要證3×9k²≥9（k+1）² ，

只要正3k²≥（k+1）² ，

即證2k²-2k-1≥0.                      （10分）

而當k即且時，上述不等式成立.      （11分）

由①②可知，對任意，所證不等式成立.          （12分）

考點：1.等差中項；2.累加法求和；3.數列單調性；4.數學歸納法.