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設數列{an}滿足a1=0,4aa+1=4an+2
4an+1
+1
,令bn=
4an+1

(1)試判斷數列{bn}是否為等差數列?
(2)若cn=
1
an+1
,求{cn}前n項的和Sn
(3)是否存在m,n(m,n∈N*,m≠n)使得1,am,an三個數依次成等比數列?若存在,求出m,n;若不存在,說明理由.
分析:(1)將條件化為4an+1+=4an+1+2
4an+1
+1
,根據bn=
4an+1
,可得bn+12=bn2+2bn+1,即bn+1=bn+1,從而數列{bn}為等差數列;
(2)由(1)可求數列{bn}的通項,從而可得
4an+1
=n
,由此可求數列{an}的通項,由于cn=
1
an+1
,利用裂項法可求{cn}前n項的和Sn
(3)設存在m,n滿足條件,則有1•an=am2,從而可化簡為4(n2-1)=(m2-1)2,所以m2-1必為偶數,設為2t,從而可有n-t)(n+t)=1,所以有
n+t=1
n-t=1
n+t=-1
n-t=-1
,即n=1,t=0,進而引出矛盾,問題得解.
解答:解:(1)由已知得an+1+
1
4
=an+
1
4
+
an+
1
4
+
1
4

4an+1+=4an+1+2
4an+1
+1

bn=
4an+1

所以bn+12=bn2+2bn+1
∴bn+1=bn+1,
所以數列{bn}為等差數列;
(2)由(1)得:bn+1=bn+1且b1=1,∴bn=n,
4an+1
=n
,∴an=
n2-1
4

cn=
1
an+1
=
4
n(n+2)
=2(
1
n
-
1
n+2
)

Sn=c1+c2+… +cn=2(1-
1
3
+
1
2
-
1
4
+
…+
1
n
-
1
n+2
)
=2(1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2
)=3-
2(2n+3)
(n+1)(n+2)

(3)設存在m,n滿足條件,則有1•an=am2
n2-1
4
=(
m2-1
4
)
2

即4(n2-1)=(m2-1)2
所以m2-1必為偶數,設為2t,
則n2-1=t2,∴n2-t2=1
∴(n-t)(n+t)=1,
∴有
n+t=1
n-t=1
n+t=-1
n-t=-1
,即n=1,t=0,
∴m2-1=2t=0,∴m=1與已知矛盾.
∴不存在m,n(m,n∈N*,m≠n)使得1,am,an三個數依次成等比數列.
點評:本題以數列的遞推式為載體,考查等差數列的定義,考查裂項法求數列的和,同時考查了存在性問題,解題的關鍵是構造新數列,利用假設存在,轉化為封閉型問題.
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設數列{an}滿足a1=1,且對任意的n∈N*,點Pn(n,an)都有
.
PnPn+1
=(1,2)
,則數列{an}的通項公式為(  )

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(2013•日照一模)若數列{bn}:對于n∈N*,都有bn+2-bn=d(常數),則稱數列{bn}是公差為d的準等差數列.如:若cn=
4n-1,當n為奇數時
4n+9,當n為偶數時.
則{cn}
是公差為8的準等差數列.
(I)設數列{an}滿足:a1=a,對于n∈N*,都有an+an+1=2n.求證:{an}為準等差數列,并求其通項公式:
(Ⅱ)設(I)中的數列{an}的前n項和為Sn,試研究:是否存在實數a,使得數列Sn有連續的兩項都等于50.若存在,請求出a的值;若不存在,請說明理由.

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(2013•日照一模)若數列{bn}:對于n∈N*,都有bn+2-bn=d(常數),則稱數列{bn}是公差為d的準等差數列.如數列cn:若cn=
4n-1,當n為奇數時
4n+9,當n為偶數時
,則數列{cn}是公差為8的準等差數列.設數列{an}滿足:a1=a,對于n∈N*,都有an+an+1=2n.
(Ⅰ)求證:{an}為準等差數列;
(Ⅱ)求證:{an}的通項公式及前20項和S20

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設數列{an}滿足a1=1,a2+a4=6,且對任意n∈N*,函數f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1?cosx-an+2sinx滿足f′(
π
2
)=0
cn=an+
1
2an
,則數列{cn}的前n項和Sn為(  )
A、
n2+n
2
-
1
2n
B、
n2+n+4
2
-
1
2n-1
C、
n2+n+2
2
-
1
2n
D、
n2+n+4
2
-
1
2n

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科目:高中數學 來源: 題型:

設數列{an}滿足:a1=2,an+1=1-
1
an
,令An=a1a2an,則A2013
=(  )

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