Question

2．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π），在一個周期內(nèi)的圖象如圖．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若g（x）的圖象是將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{24}$個單位得到的，求g（x）的解析式；
（3）若h（x）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a•g（x）+$\frac{a}{2}$+b，當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，h（x）的值域是[3，4]，求實數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式．
（3）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，分類討論a的符號，從而求得實數(shù)a，b的值．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π），在一個周期內(nèi)的圖象，
可得A=2，$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{12}$，∴ω=2，再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得2•$\frac{π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）若g（x）的圖象是將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{24}$個單位得到的，
∴g（x）=f（x-$\frac{π}{24}$）=2sin[2（x-$\frac{π}{24}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
（3）∵h(yuǎn)（x）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a•g（x）+$\frac{a}{2}$+b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$asin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{a}{2}$+b，當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
若a＞0，則當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$時，h（x）取得最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}a$•（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）+$\frac{a}{2}$+b=3；
當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時，h（x）取得最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}a$+$\frac{a}{2}$+b=4，求得a=2$\sqrt{2}$-2，b=3．
若a＜0，則當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$時，h（x）取得最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}a$•（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）+$\frac{a}{2}$+b=4；
當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時，h（x）取得最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}a$+$\frac{a}{2}$+b=3，求得a=-2$\sqrt{2}$-2，b=4．

點(diǎn)評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．