Question

如圖，△ABC的內切圓與三邊AB、BC、CA的切點分別為D、E、F，已知B（-

2

，0)，C(

2

，0)，內切圓圓心I（1，t）．設A點的軌跡為L
（1）求L的方程；
（2）過點C作直線m交曲線L于不同的兩點M、N，問在x軸上是否存在一個異于點C的定點Q．使

QM • QC

| QM |

=

QN • QC

| QN |

對任意的直線m都成立？若存在，求出Q的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由切線長定理得，從一點出發的切線長相等，得到A點到兩個點B，C的距離之差是常數，根據雙曲線的定義得A點的軌跡是雙曲線，從而即可求出L的方程；
（2）對于存在性問題，可先假設存在，設點Q（x₀，0），再設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由條件得∠MQC=∠NQC，下面分類討論：①當MN⊥x，②當MN不垂直x時，第一種情況比較簡單，對于第二種情況，將直線的方程代入雙曲線方程，消去y得到關于x的二次方程，結合根與系數的關系，利用斜率相等求得Q(

2

2

，0)，從而說明存在點Q．

解答：解：（1）由題意|AD|=|AF|．|BD|=|BE|，|CE|=|CF|．
∴|AB|-|AC|=|BD|-|CF|=|BE|-|CE|=|BO|+|OE|-（|OC|-|OE|）=2|OE|
I（1，t），E（1，0），|OE|=1，|AB|-|AC|=2
x²-y²=1（x＞1）
（2）設點Q（x₀，0），設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∵

QM • QC

| QM |

=

QN • QC

| QN |

?

QM • QC

| QM | •| QC |

=

QN • QC

| QN | •| QC |

?cos＜

QM

，

QC

=cos＜

QN

，

QC

?∠MQC=∠NQC
（6分）
于是：①當MN⊥x，點Q（x₀，0）在x上任何一點處，都能夠使得：
∠MQC=∠NQC成立，（8分）
②當MN不垂直x時，設直線MN：y=k(x-

2

)．
由

x2-y2=1 y=k(x- 2)

得：(1-k2)x2+2

2

k2x-(2k2+1)=0
則：x1+x2=

2 2 k2

k2-1

，x1x2=

2k2+1

k2-1

∴y1+y2=k(x1-

2

)+k(x2-

2

)=k(x1+x2)-2

2

k =

2 2 k

k2-1

∵tan∠MQC=kQM=

y1

x1-x0

，tan∠NQC=-kQN=-

y2

x2-x0

要使∠MQC=∠NQC成立，
只要tan∠MQC=tan∠NQC：

y1

x1-x0

=-

y2

x2-x0

?x₂y₁-x₀y₁+x₁y₂-x₀y₂=0
即(y1+y2)x0=x2•k(x1-

2

)+x1•k(x2-

2

)=2kx1x2-

2

k(x1+x2)=

2k

k2-1

∴

2 2 k

k2-1

•x0=

2k

k2-1

?x0=

2

2

∴當Q(

2

2

，0)時，能夠使：

QM • QC

| QM |

=

QN • QC

| QN |

對任意的直線m成立．（15分）

點評：本題主要考查了軌跡方程、直線與圓錐曲線的交點等知識，屬于中檔題．