Question

某學校為調查高三年學生的身高情況，按隨機抽樣的方法抽取80名學生，得到男生身高情況的頻率分布直方圖（圖（1）和女生身高情況的頻率分布直方圖（圖（2））．已知圖（1）中身高在170～175cm的男生人數有16人．
（I）試問在抽取的學生中，男、女生各有多少人？
（II）根據頻率分布直方圖，完成下列的2×2列聯表，并判斷能有多大（百分幾）的把握認為“身高與性別有關”？

	≥170cm	＜170cm	總計
男生身高
女生身高
總計

（Ⅲ）在上述80名學生中，從身高在170～175cm之間的學生按男、女性別分層抽樣的方法，抽出5人，從這5人中選派3人當旗手，求3人中恰好有一名女生的概率．

Answer 1

解：（Ⅰ）直方圖中，因為身高在170～175cm的男生的頻率為0.08×5=0.4，
設男生數為n₁，則，得n₁=40．
由男生的人數為40，得女生的人數為80-40=40．
（Ⅱ）男生身高≥170cm的人數=（0.08+0.04+0.02+0.01）×5×40=30，
女生身高≥170cm的人數為0.02×5×40=4，
所以可得到下列列聯表：

	≥170cm	＜170cm	總計
男生身高	30	10	40
女生身高	4	36	40
總計	34	46	80

，所以能有99.9%的把握認為身高與性別有關；
（Ⅲ）在170～175cm之間的男生有16人，女生人數有4人，按分層抽樣的方法抽出5人，則男生占4人，女生占1人．
設男生為A₁，A₂，A₃，A₄，女生為B．
從5人任選3名有：（A₁，A₂，A₃），（A₁，A₂，A₄），（A₁，A₂，B），（A₁，A₃，A₄），（A₁，A₃，B），（A₁，A₄，B），（A₂，A₃，A₄），（A₂，A₃，B），（A₂，A₄，B），（A₃，A₄，B），共10種可能，
3人中恰好有一名女生有：（A₁，A₂，B），（A₁，A₃，B），（A₁，A₄，B），（A₂，A₃，B），（A₂，A₄，B），（A₃，A₄，B），共6種可能，
故所求概率為．
分析：（Ⅰ）直方圖中，求出身高在170～175cm的男生的頻率，利用身高在170～175cm的男生人數有16人，可求男生數、女生的人數．
（Ⅱ）男生身高≥170cm的人數=（0.08+0.04+0.02+0.01）×5×40=30，女生身高≥170cm的人數為0.02×5×40=4，
從而可得列聯表，利用公式，求得，即可得到結論；
（Ⅲ）在170～175cm之間的男生有16人，女生人數有4人，按分層抽樣的方法抽出5人，則男生占4人，女生占1人．
利用列舉法確定從5人任選3名的所有可能，3人中恰好有一名女生的所有可能，即可求得概率．
點評：本題考查統計知識，考查獨立性檢驗，考查古典概型，解題的關鍵是讀懂直方圖，正確計算基本事件的個數．