Question

如圖，海上有兩個(gè)小島相距10，船O將保持觀望A島和B島所成的視角為，現(xiàn)從船O上派下一只小艇沿方向駛至處進(jìn)行作業(yè)，且．設(shè)。

（1）用分別表示和，并求出的取值范圍；

（2）晚上小艇在處發(fā)出一道強(qiáng)烈的光線照射A島，B島至光線的距離為，求BD的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；，（2）10

【解析】

試題分析：（1）在和中，分別用余弦定理AC，AB，然后兩式相加即得的表達(dá)式；兩式相減即得的表達(dá)式，由和確定x的取值范圍.（2）由、和可得到關(guān)于BD的函數(shù)式，然后通過求導(dǎo)，求出BD的最大值.

試題解析：解：（1）在中，，，

由余弦定理得，，

又，

所以 ①，        1分

在中，，

由余弦定理得，

 ②，        3分

①+②得，

① ②得，即，           4分

又，所以，即，

又，即， 所以                  6分

（2）易知，

故，                    8分

又，設(shè)，

所以，                               9分

又                                                 10分

則在上是增函數(shù)，

所以的最大值為，即BD的最大值為10．                  12分

（利用單調(diào)性定義證明在上是增函數(shù)，同樣給滿分；如果直接說出上是增函數(shù)，但未給出證明，扣2分．）

考點(diǎn)：1.余弦定理；2.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.