Question

已知函數f(x-2)=ax²-(a-3)x+(a-2)的圖象過點(1，0)，設g(x)=f［f(x)］，F(x)=p·g(x)+q·f(x)(p、q∈R).

(1)求a的值.

(2)求函數F(x)的解析式.

(3)是否存在實數p(p＞0)和q，使F(x)在區間(-∞，f(2))上是增函數且在(f(2)，0)上是減函數?請證明你的結論.

Answer 1

解:(1)由題意知a-(a-3)+a-2=0，

解得a=-1.

(2)∵a=-1，

∴f(x-2)=-x²+4x-3=-(x-2)²+1，即f(x)=-x²+1.

∴g(x)=f［f(x)］=-x⁴+2x².

∴F(x)=-px⁴+(2p-q)x²+q.

(3)∵f(2)=-3，則可假設存在實數p＞0和q，使得F(x)在區間(-∞，-3)上是增函數，在(-3，0)上是減函數.

設x₁＜x₂，則F(x₁)-F(x₂)=(x₁²-x₂²)［-p(x₁²+x₂²)+2p-q］.

①當x₁、x₂∈(-∞，-3)時，

∵F(x)是增函數，∴F(x₁)-F(x₂)＜0.

又x₁²-x₂²＞0，

∴-p(x₁²+x₂²)+2p-q＜0.                                                         ①

又x₁＜-3，x₂＜-3，∴x₁²+x₂²＞18.

∴-p(x₁²+x₂²)+2p-q＜-18p+2p-q=-16p-q.要使①式成立，只需-16p-q≤0.

②當x₁、x₂∈(-3，0)時， F(x)是減函數，

∴F(x₁)-F(x₂)＞0.

又x₁²-x₂²＞0，

∴-p(x₁²+x₂²)+2p-q＞0.                                                        ②

又∵x₁、x₂∈(-3，0)，∴x₁²+x₂²＜18.

∴-p(x₁²+x₂²)+2p-q＞-18p+2p-q=-16p-q.

要使②式成立，只需-16p-q≥0.

綜合①②可知-16p-q＝0，即16p+q＝0.

∴存在實數p和q，使得F(x)在區間(-∞，-3)上是增函數，在(-3，0)上是減函數.