Question

設a∈R，函數f（x）=e^-x（a+ax-x²）（e是自然對數的底數）．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（-1，f（-1））處的切線方程；
（Ⅱ）判斷f（x）在R上的單調性．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出f′（x），把a=1代入f′（x）確定其解析式，根據曲線y=f（x）的切點（-1，f（-1））得到切線的斜率k=f′（-1），把x=-1代入f（x）中求出f（-1）得到切點的坐標，利用切點坐標和斜率寫出切線方程即可；
（Ⅱ）令f′（x）=0解出x的值為0和a+2，分a+2大于0，小于0，等于0三個區間討論f′（x）的正負時x的取值范圍即可得到函數的單調區間．
解答：解：∵f（x）=e^-x（a+ax-x²）
∴f′（x）=-e^-x（a+ax-x²）+e^-x（a-2x）=e^-xx[x-（a+2）]
（Ⅰ）當a=1時f′（x）=e^-xx（x-3），
則f′（-1）=-e（-1-3）=4e，f（-1）=e（1-1-1²）=-e，
所以切點坐標為（-1，-e），切線斜率k=4e
則切線方程為y+e=4e（x+1）即4ex-y+3e=0；
（Ⅱ）令f′（x）=0得x=0，x=a+2
∴當a+2＞0即a＞-2時，f′（x）＞0
∴f（x）在（-∞，0），（a+2，+∞）單調遞增，在（0，a+2）單調遞減；
當a+2＜0即a＜-2時，f′（x）＜0
∴f（x）在（-∞，a+2），（0，+∞）單調遞增，在（a+2，0）單調遞減；
當a+2=0，即a=-2時，
f′（x）=e^-xx²≥0，f（x）在R上單調遞增．
點評：此題是一道綜合題，要求學生會根據導數求曲線上某點切線的斜率以及會根據一點和斜率寫出切線的方程，會利用導數研究函數的單調性．