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【題目】如圖，三棱柱中，側面側面，，，，為棱的中點，在棱上，面.

（1）求證：為的中點；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】

（1）利用面面垂直的性質得證平面，這樣可以為軸建立空間直角坐標系，然后寫出各點的坐標，利用垂直關系計算出D點坐標即證；

（2）在（1）基礎上求出平面和平面的法向量，計算法向量的夾角的余弦值，即得二面角的余弦值．

（1）連接，因為為正三角形，為棱的中點，

所以，從而，又面側面，

面側面，面，

所以面.

以為原點，建立空間直角坐標系如圖所示，

不妨設，則，，，

設，則，，

因為平面，平面，所以，

所以，解得，即，所以為的中點.

（2），，，

設平面的法向量為，則，即，解得，

令，得，

顯然平面的一個法向量為，

所以，

所以二面角的余弦值為.

練習冊系列答案

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詳解：（Ⅰ），

，

由得，

且當時，，即在上單調遞增，

當時，，即在上單調遞減，

∴當時，有極大值，且，無極小值．

（Ⅱ）函數的兩個零點為，不妨設，

，．

，

即，

又，，

，

．

令，則

，

在上單調遞減，

故，

，

即，

又，

．

點睛：（1）研究方程根的情況，可以通過導數研究函數的單調性、最大（小）值、函數的變化趨勢等，根據題目要求，畫出函數圖象的大體圖象，然后通過數形結合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現．

（2）證明不等式時常采取構造函數的方法，然后通過判斷函數的單調性，借助函數的最值進行證明．

【題型】解答題
【結束】
22

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