Question

如圖，已知矩形ABCD，SA⊥平面ABCD，且AE⊥SB于E，EF⊥SC于F．

(1)求證：AF⊥SC；

(2)若平面AEF交SD于點G．求證：AG⊥SD．

Answer 1

答案：
解析：

分析：本題是證線線垂直的問題，可通過證線面垂直來實現． 　　證明：(1)因為SA⊥平面ABCD，BC平面ABCD， 　　所以SA⊥BC． 　　因為四邊形ABCD是矩形， 　　所以AB⊥BC． 　　又SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB． 　　因為AE平面SAB，所以AE⊥BC． 　　又因為AE⊥SB，且SB∩BC＝B， 　　所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SC． 　　又EF⊥SC，且EF∩AE＝E， 　　所以SC⊥平面AEF，所以AF⊥SC． 　　(2)因為SA⊥平面ABCD，所以SA⊥DC． 　　又AD⊥DC，且SA∩AD＝A， 　　所以DC⊥平面SAD． 　　因為AG平面SAD，所以DC⊥AG． 　　由(1)有SC⊥平面AEF，AG平面AEF， 　　所以SC⊥AG． 　　又SC∩DC＝C，所以AG⊥平面SDC． 　　因為SD平面SDC，所以AG⊥SD． 　　點評：無論是線面垂直還是面面垂直，都源于線與線的垂直，這種“降維”的思想方法，在解題時非常重要．在處理實際問題的過程中，可以先從題設條件入手，分析已有的垂直關系，再從結論入手，分析所要證明的垂直關系，從而架起已知與未知之間的橋梁．