Question

已知直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直線A₁B上．

(1)求證：平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁；

(2)若，AB＝BC＝2，P為AC中點(diǎn)，求三棱錐P－A₁BC的體積．

Answer 1

答案：
解析：

證：直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC， 　　∴AA1⊥BC， 　　∵AD⊥平面A1BC， 　　∴AD⊥BC， 　　∵AA1，AD為平面ABB1A1內(nèi)兩相交直線， 　　∴BC⊥平面ABB1A1， 　　又∵平面A1BC， 　　∴平面A1BC⊥平面ABB1A1　7分 　　(2)由等積變換得， 　　在直角三角形中，由射影定理()知， 　　∵， 　　∴三棱錐的高為　10分 　　又∵底面積　12分 　　∴＝　14分 　　法二：連接，取中點(diǎn)，連接，∵P為AC中點(diǎn)， 　　，，　9分 　　由(1)AD⊥平面A1BC，∴⊥平面A1BC， 　　∴為三棱錐P－A1BC的高，　11分 　　由(1)BC⊥平面ABB1A1　，　12分 　　，　14分