Question

如圖，已知等腰△ABC的底邊BC=3，頂角A為120°，D是BC邊上一點(diǎn)，且BD=1，把△ADC沿AD折起，使得平面CAD⊥平面ABD，連接BC形成三棱錐C-ABD。

（1）①求證：AC⊥平面ABD；
②求三棱錐C-ABD的體積；
（2）求AC與平面BCD所成角的正弦值。

Answer 1

解：（1）①由已知得，∠B=∠C=30°，AB=AC 在△ABD中，由BD=1，得 在△ACD中，∵AC2+AD2=4=CD2， ∴AC⊥AD 平面ADC⊥平面ABD， ∴AC⊥平面ABD。 ②∵AC⊥平面ABD ∴ 。
（2）由BD=1，得CD=2 在平面內(nèi)作等腰△ABC底邊上的高線AE，點(diǎn)E為垂足， 則 在三棱錐C-ABD中，連接CE，作AH⊥CE于點(diǎn)H， ∵BD⊥AC，BD⊥AE， ∴BD⊥平面ACE ∵AH平面ACE， ∴BD⊥AH， ∴AH⊥平面BCD， ∴∠ACH是直線AC與平面BCD所成的角 在Rt△ACE中，得  ∴ 即直線AC與平面BCE所成的角的正弦值為。