Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,∠ABC=90°,AB=BC=1.

(1)求異面直線B₁C₁與AC所成角的大小；
(2)若該直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為，求點A到平面A₁BC的距離．

Answer 1

（1）45°；（2）.

試題分析：（1）求異面直線所成的角，關鍵是作出這兩條直線所成的角，作法是利用平移思想（即作平行線），當然我們要充分利用圖中已有的平行關系作圖，如本題中有∥,就不需要另外作平行線了，還要注意的是異面直線所成的角不大于90°；（2）求點到平面的距離，一般要作出垂線段，求垂線段的長，即過點作平面的垂線，首先觀察尋找原有圖形中的垂直關系，發現可證平面⊥平面，因此我們只要在平面內作,垂足為，則可證為所要求的垂線段，其長即為要求的距離.另外由于點，平面所在的三棱錐的體積很容易求得，故也可用體積法求解.
試題解析：（1）∵BC∥B₁C₁，
∴∠ACB為異面直線B₁C₁與AC所成角（或它的補角），（2分）
∵∠ABC=90°，AB=BC=1，
∴∠ACB=45°，
∴異面直線B₁C₁與AC所成角為45°．（4分）
（2）∵，三棱柱的體積.
∴,（2分）
∵⊥平面₁，∴，,
設點A到平面A₁BC的距離為h，（4分）
三棱錐A₁-ABC的體積V==三棱錐A-A₁BC的體積V=,（6分）
∴.（8分）