Question

設A，B，C是半徑為1的圓上三點，若AB=

3

，則

AB

•

AC

的最大值為（　　）

• A．3+

  3

• B．

  3

  2

  +

  3

• C．3
• D．

  3

Answer 1

分析：先根據余弦定義可求出AB邊所對的圓心角，從而得到角C，然后根據數量積公式將

AB

•

AC

轉化成角B的三角函數，從而可求出最值．

解答：解：∵A，B，C是半徑為1的圓上三點，AB=

3

，
∴根據余弦定理可知AB邊所對的圓心角為120°則∠C=60°
根據正弦定理可知AC=2sinB
∴

AB

•

AC

=

3

×2sinBcos（120°-B）=2

3

sinB（-

1

2

cosB+

3

2

sinB）
=-

3

sinBcosB+3sin²B
=-

3

2

sin2B+

3

2

（1-cos2B）
=

3

2

-

3

sin（2B+60°）
當B=60°時

AB

•

AC

取最大值為

3

2

+

3

故選B．

點評：本題主要考查了向量在幾何中的應用，以及余弦定理和正弦定理的應用，同時考查了三角函數的值域，屬于中檔題．