Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為

π

2

，且圖象上一個最低點為M（

2π

3

，-2）．當x∈[

π

12

，

π

2

]時，則 f（x）的值域為（　　）

A．[-2，2]

B．[-2，1]

C．[-1，2]

D．[-1，1]

Answer 1

分析：由題意得A=2，由周期，可求ω，則有f（x）=2sin（2x+φ），然后將M（

2π

3

，-2）代入結合已知φ的范圍，可求φ，從而可求函數f（x）的表達式，由x的范圍可求ωx+φ的范圍，結合正弦型函數的性質可求函數函數的值的范圍．

解答：解：由題意得A=2，周期T=

2π

ω

=π，得ω=2，此時f（x）=2sin（2x+φ），
將M（

2π

3

，-2）代入上式得-2=2sin（

4π

3

+φ），
即sin（

4π

3

+φ）=-1，0＜φ＜

π

2

，
解得φ=

π

6

，所以f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
因為x∈[

π

12

，

π

2

]，所以

π

3

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
所以，當且僅當2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時，sin（2x+

π

6

）=1，
即有f（x）的最大值為2．
當且僅當2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

時，sin（2x+

π

6

）=-1，
即有f（x）的最小值為-1．
所以函數的值域為[-1，2]．
故選C．

點評：本題主要考查三角函數的圖象與性質，三角函數的值的范圍的求法，考查運算求解的能力．