Question

關于函數(shù)f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），有下列命題：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數(shù)倍；
②y=f（x）的表達式可改寫為y=4cos（2x-

π

6

）；
③y=f（x）的圖象關于點（-

π

6

，0）對稱；
其中正確的命題的序號是

 

?（注：把正確的命題的序號都填上．）

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）兩個相鄰的零點間的距離等于

π

2

，可得①不正確；利用誘導公式可得②正確；由于x=-

π

6

時，
函數(shù)f（x）=0，可得f（x）的圖象關于點（-

π

6

，0）對稱，故③正確．

解答：解：由于函數(shù)f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R）的周期等于π，而函數(shù)的兩個相鄰的零點間的距離等于

π

2

，
故由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂ 必是

π

2

的整數(shù)倍，故①不正確．
由誘導公式可得函數(shù)f（x）=4sin（2x+

π

3

）=4sin[

π

2

-（-2x+

π

6

）]=4cos（-2x+

π

6

）=4cos（2x-

π

6

），
故②正確．
由于x=-

π

6

時，函數(shù)f（x）=4sin0=0，故y=f（x）的圖象關于點（-

π

6

，0）對稱，故③正確． 
故答案為：②③．

點評：本題考查誘導公式，正弦函數(shù)的對稱性、周期性，明確正弦函數(shù)的零點即為正弦函數(shù)圖象的對稱中心，是解題的關鍵．