Question

已知三點P（5，2）、F₁（-6，0）、F₂（6，0）.

（1）求以F₁、F₂為焦點且過點P的橢圓的標準方程；

（2）設點P、F₁、F₂關于直線y=x對稱點分別為P′、F₁′、F₂′，求以F₁′、F₂′為焦點且過點P′的雙曲線的標準方程.

Answer 1

解析：（1）由題意，可設所求橢圓的標準方程為(a>b>0),其半焦距c=6.

2a=|PF₁|+|PF₂|=+=.

∴a=3,b²=a²-c²=45-36=9.

∴所求橢圓的標準方程為.

(2)點P（5，2）、F₁（-6，0）、F₂（6，0）關于直線y=x的對稱點分別為P′(2,5)、F₁′（0，-6）、F₂′(0,6).

設所求雙曲線的標準方程為

(a₁>0,b₁>0).

由題意知，半焦距c₁=6,

2a₁=||P′F₁′|-|P′F₂′||=|-|=.

∴a₁=,b₁²=c₁²-a₁²=36-20=16.

∴所求雙曲線的標準方程為.