Question

如圖，已知橢圓過點．，離心率為，左、右焦點分別為F₁、F₂．點p為直線l：x+y=2上且不在x軸上的任意一點，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D，O為坐標原點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設直線PF₁、PF₂的斜線分別為k₁、k₂．①證明：；②問直線l上是否存在點P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率k_OA、k_OB、k_OC、k_OD滿足k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓過已知點和離心率，聯立方程求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）①把直線PF₁、PF₂的方程聯立求得交點的坐標的表達式，代入直線x+y=2上，整理求得，原式得證．
②設出A，B，C，D的坐標，聯立直線PF₁和橢圓的方程根據韋達定理表示出x_A+x_B和x_Ax_B，進而可求得直線OA，OB斜率的和與CO，OD斜率的和，由k_OA+k_）B+k_OC+k_OD=0推斷出k₁+k₂=0或k₁k₂=1，分別討論求得p．
解答：解：（1）∵橢圓過點，，
∴，
故所求橢圓方程為；
（2）①由于F₁（-1，0）、F₂（1，0），PF₁，PF₂的斜率分別是k₁，k₂，且點P不在x軸上，
所以k₁≠k₂，k₁≠0，k₂≠0．
又直線PF₁、PF₂的方程分別為y=k₁（x+1），y=k₂（x-1），
聯立方程解得，
所以，由于點P在直線x+y=2上，
所以，
故
②設A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），D（x_D，y_D），聯立直線PF₁和橢圓的方程得，
化簡得（2k₁²+1）x²+4k₁²x+2k₁²-2=0，
因此，
所以，
同理可得：，
故由k_OA+k_）B+k_OC+k_OD=0得k₁+k₂=0或k₁k₂=1，
當k₁+k₂=0時，由（1）的結論可得k₂=-2，解得P點的坐標為（0，2）
當k₁k₂=1時，由（1）的結論可得k₂=3或k₂=-1（舍去），
此時直線CD的方程為y=3（x-1）與x+y=2聯立得x=\frac{5}{4}，，
所以，
綜上所述，滿足條件的點P的坐標分別為，P（0，2）．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系的綜合問題，橢圓的簡單性質．考查了學生綜合推理能力，基本計算能力．