Question

已知函數f(x)=

2x-1

2x+1

．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）判斷f（x）的單調性，并加以證明；
（3）解不等式f(x)＞

7

9

．

Answer 1

分析：（1）根據函數的定義域為R，關于原點對稱，且滿足f（-x）=-f（x），可得函數為奇函數．
（2）利用函數的單調性的定義證明f（x）是（-∞，+∞）上的增函數．
（3））根據f(3)=

7

9

，f(x)＞

7

9

，可得不等式即 f（x）＞f（3）．再由f（x）是（-∞，+∞）上的增函數，求得不等式f(x)＞

7

9

的解集．

解答：解：（1）f（x）為奇函數．∵f（x）的定義域為R，對?x∈R，
有f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f(x)，∴f（x）為奇函數．…（4分）
（2）f（x）是（-∞，+∞）上的增函數．∵對-∞＜x₁＜x₂＜+∞，2x1-2x2＜0，f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
故 f(x1)-f(x2)=(1-

2

2x1+1

)-(1-

2

2x2+1

)=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函數．…（8分）
（3）∵f(3)=

7

9

，又∵f(x)＞

7

9

，即為f（x）＞f（3）．…（10分）
又f（x）是（-∞，+∞）上的增函數，
∴不等式f(x)＞

7

9

的解集為{x|x＞3}．…（13分）

點評：本題主要考查指數函數的性質的綜合應用，判斷、證明函數的奇偶性和單調性的方法，屬于中檔題．