Question

本題有（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三個選答題，每題7分，請考生任選兩題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．
（Ⅰ）直線l₁：x=-4先經過矩陣A=

4 m n -4

作用，再經過矩陣B=

1 1 0 -1

作用，變為直線l₂：2x-y=4，求矩陣A．
（Ⅱ）已知直線l的參數方程：

x=t y=1+2t

（t為參數）和圓C的極坐標方程：p=2

2

sin（θ+

π

4

）．判斷直線l和圓C的位置關系．
（Ⅲ）解不等式：|x|+2|x-1|≤4．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為直線l₁經矩陣A所對應的變換得直線l，直線l又經矩陣B的變換得到直線l₂．故直線l₁經矩陣AB所對應的變換可直接得到直線l₂，故可求出矩陣BA，即求出參量m，n得矩陣A．
（Ⅱ）將直線l的參數方程的參數t消去即可求出直線的普通方程，利用極坐標轉化成直角坐標的轉換公式求出圓的直角坐標方程；欲判斷直線l和圓C的位置關系，只需求圓心到直線的距離與半徑進行比較即可，根據點到線的距離公式求出圓心到直線的距離然后與半徑比較．
（III）根據題意，對x分3種情況討論：①當x＜0時，②當0≤x＜1時，③當x≥1時；在各種情況下．去掉絕對值，化為整式不等式，解可得三個解集，進而將這三個解集取并集即得所求．

解答：解：（Ⅰ）解：根據題意可得：直線l₁經矩陣BA所對應的變換可直接得到直線l₂
BA=

1 1 0 -1

•

4 m n -4

=

4+n m-4 -n 4

，得l₁變換到l₂的變換公式

x′=(4+n)x+(m-4)y y′=-nx+4y

，
則由l₂：2x-y=4得到直線2[（4+n）x+（m-4）y]-[-nx+4y]-4=0，即（3n+8）x-（2m-12）y-4=0
即直線l₁：x=-4，比較系數得m=6，n=-3，
此時矩陣A=

4 6 -3 -4

（II）消去參數t，得直線l的普通方程為y=2x+1，
ρ=2

2

sin（θ+

π

4

），即ρ=2（sinθ+cosθ），
兩邊同乘以ρ得ρ²=2（ρsinθ+ρcosθ），
得⊙C的直角坐標方程為（x-1）²+（x-1）²=2；
圓心C到直線l的距離d=

|2-1+1|

22+1 2

=

2 5

5

＜

2

，
所以直線l和⊙C相交．
（III）根據題意，對x分3種情況討論：
①當x＜0時，原不等式可化為-3x+2≤4，
解得-

2

3

≤x＜0，
②當0≤x≤1時，原不等式可化為2-x≤4，即x≥-2
解得0≤x≤1，
③當x≥1時，原不等式可化為3x-2≤4，
解得 1＜x≤2．
綜上，原不等式的解集為{x|-

2

3

≤x≤2}．

點評：（I）此題主要考查了矩陣變換，屬于基礎性試題．
（II）本題主要考查了簡單曲線的極坐標方程，以及直線的參數方程和直線與圓的位置關系的判定，屬于基礎題．
（III）本題考查絕對值不等式的解法，體現了分類討論的數學思想，關鍵是去掉絕對值，化為與之等價的不等式組來解．