Question

關于二項式（x-1）²⁰⁰⁹有下列命題：
①該二項式中非常數項的所有各項系數的和為1．
②該二項式展開式的第5項是-C₂₀₀₉⁵x²⁰⁰⁴．
③該二項式中系數最大的項是第1005項．
④當x=2009時，（x-1）²⁰⁰⁹除以2009的余數為2008．
其中正確命題的序號是     ．（把你認為正確的都填上）

Answer 1

【答案】分析：利用賦值求出各項系數和，判斷出命題①正確；利用二項展開式的通項公式求出第5項，判斷出命題②錯誤；據二項展開式的二項式系數的性質：中間項的二項式系數最大，判斷出命題③正確；利用二項式定理將二項式展開，判斷出命題④正確．
解答：解：此二項展開式各項系數的和為0，其常數項為-1，故①正確；
其第5項T₅=C₂₀₀₉⁴x^2009-4•（-1）⁴=C₂₀₀₉⁴x²⁰⁰⁵，故②錯；
該二項展開式共有2010項，奇數項系數為正、偶數項系數為負，
由二項式系數的性質知第1005項與1006項系數的絕對值最大，故③正確；
（x-1）²⁰⁰⁹=（x²⁰⁰⁹-C₂₀₀₉¹x²⁰⁰⁸+C₂₀₀₉²x²⁰⁰⁷-+C₂₀₀₉²⁰⁰⁸x）-1=（x²⁰⁰⁸-C₂₀₀₉¹x²⁰⁰⁷+C₂₀₀₉²x²⁰⁰⁶-+C₂₀₀₉²⁰⁰⁸-1）x+x-1．當x=2009時，被2009除的余數為2009-1=2008．故④正確．
故答案為①③④
點評：本題考查求展開式的系數和的方法是賦值法；考查二項展開式的通項公式解決展開式的特定項問題；考查展開式的二項式系數的性質；考查二項式定理．