Question

已知函數f（x）=x³+bx²+ax+d的圖象過點P（0，2），且在點M（-1，f（-1））處的切線方程為6x-y+7=0．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數y=f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求解析式，只需把a，b，d三個字母求出即可．已知點P（0，2）滿足f（x），得到d，又點M（-1，f（-1））處的切線方程為6x-y+7=0，可以得到f（-1）的值，并且得到f（x）在x=-1處的導數為6．
（Ⅱ）利用導數研究函數的單調性即可求出函數的單調區間．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）的圖象經過P（0，2），∴d=2，
∴f（x）=x³+bx²+ax+2，f'（x）=3x²+2bx+a．
∵點M（-1，f（-1））處的切線方程為6x-y+7=0
∴f'（x）|_x=-1=3x²+2bx+a|_x=-1=3-2b+a=6①，
還可以得到，f（-1）=y=1，即點M（-1，1）滿足f（x）方程，得到-1+b-a+2=1②
由①、②聯立得b=a=-3
故所求的解析式是f（x）=x³-3x²-3x+2．
（Ⅱ）f'（x）=3x²-6x-3．，令3x²-6x-3=0，即x²-2x-1=0．
解得x1=1-

2

，x2=1+

2

．當x＜1-

2

，或x＞1+

2

時，f′(x)＞0；
當1-

2

＜x＜1+

2

時，f′(x)＜0．
故f（x）的單調增區間為（-∞，1-

2

），（1+

2

，+∞）；單調減區間為（1-

2

，1+

2

）

點評：本題主要考查了兩個知識點，一是導數的幾何意義，二是利用導數研究函數的單調性，屬于函數這一內容的基本知識，更應該熟練掌握．