Question

已知甲口袋中有8個大小相同的小球，其中有5個白球，3個黑球；乙口袋中有4個大小相同的小球，其中有2個白球，2 個黑球，現采用分層抽樣方法（層內采用不放回簡單隨機抽樣）從甲、乙兩個口袋中共摸出3個小球．
（I ）求從甲、乙兩個口袋中分別抽取小球的個數；
（II）求從甲口袋中抽取的小球中恰有一個白球的概率；
（III）記ξ表示抽取的3個小球中黑球的個數，求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（I）由題意從甲、乙兩個口袋中抽取的小球個數之比為8：4，得到從甲和乙兩個口袋中分別抽取的小球是2，1
（II）由題意知本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件數是C₈²C₄¹，滿足條件的事件是C₅¹C₃¹C₄¹，得到概率．
（III）由題意知變量的可能取值是0，1，2，3，結合變量對應的事件和等可能事件的概率寫出變量的概率，寫出分辨率和期望值．

解答：解：（I）由題意從甲、乙兩個口袋中抽取的小球個數之比為8：4=2：1
∴從甲和乙兩個口袋中分別抽取的小球是2，1
（II）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
試驗發生包含的事件數是C₈²C₄¹，
滿足條件的事件是C₅¹C₃¹C₄¹=60，
∴要求的概率是P=

60

C 2 8 C 1 4

=

15

28

（III）由題意知變量的可能取值是0，1，2，3
P（ξ=0）=

5

28

，P（ξ=1）=

25

56

，P（ξ=3）=

3

56

，P（ξ=2）=

18

56

∴ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
p	5 28	25 56	18 56	3 56

∴ξ的期望是Eξ=1×

25

56

+2×

18

56

+3×

3

56

=

5

4

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，本題解題的關鍵是利用等可能事件的概率公式，做出幾個變量對應的概率．