Question

14．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，（α為參數），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）設P為曲線C₁上的動點，求點P到C₂上點的距離的最小值．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，（α為參數），利用平方關系可得普通方程．曲線C₂的極坐標方程為
ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，展開利用互化公式即可得出．
（II）設P$（\sqrt{3}cosα，sinα）$，點P到C₂上點的距離的最小值=$\frac{|\sqrt{3}cosα+sinα-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{3}）-8|}{\sqrt{2}}$，利用三角函數的單調性與值域即可得出．

解答 解：（I）曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，（α為參數），利用平方關系可得：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．
曲線C₂的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）=4$\sqrt{2}$，
化為直角坐標方程：x+y-8=0．
（II）設P$（\sqrt{3}cosα，sinα）$，
點P到C₂上點的距離的最小值=$\frac{|\sqrt{3}cosα+sinα-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{3}）-8|}{\sqrt{2}}$
≥$\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，當且僅當$sin（α+\frac{π}{3}）$=1時取等號．
∴點P到C₂上點的距離的最小值為3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了參數方程的應用、極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、三角函數的單調性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．