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設函數．f（x）=x（
1
2
）x+
1
x+1
，A0為坐標原點，An為函數y=f（x0I圖象上橫坐標為n（n∈N*）的點，向量
an
n
k=1
Ak-1Ak
，向量
i
=（1，0），設θn為向量
an
與向量
I
的夾角，則θ1=
 
，滿足
n
k=1
tanθk＜
5
3
的最大整數n是
 
．
分析：先確定點An=（n，f（n）），再確定
an
，然后明確夾角θn，進一步表示出tanθn，最后可由列舉法求出滿足要求的最大整數n．
解答：解：由題意知An=（n，f（n）），
an
=
A0An
，
則θn為直線A0An的傾斜角，所以tanθn=
f(n)
n
=(
1
2
)n+
1
n(n+1)
，
所以tanθ1=
1
2
+
1
2
=1，θ1=
π
4

tanθ2=
1
4
+
1
6
=
5
12
，tanθ3=
1
8
+
1
12
=
5
24
，tanθ4=
1
16
+
1
20
=
9
80
．
則有 1+
5
12
+
5
24
=
13
8
＜
5
3
＜
139
80
=
13
8
+
9
80
，
故滿足要求的最大整數n是3．
故答案為：
π
4
；3．
點評：本題考查數列與向量的綜合應用，解答關鍵是向量的夾角公式的運算及正切函數的定義．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數y=f（x）定義在R上，對于任意實數m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且當x＞0時，0＜f（x）＜1
（1）求證：f（0）=1且當x＜0時，f（x）＞1
（2）求證：f（x）在R上是減函數；
（3）設集合A=（x，y）|f（-x2+6x-1）•f（y）=1，B=（x，y）|y=a，
且A∩B=∅，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數y=f（x）與函數g（x）的圖象關于x=3對稱，則g（x）的表達式為（　�。�
A、g(x)=f(
3
2
-x)
B、g（x）=f（3-x）
C、g（x）=f（-3-x）
D、g（x）=f（6-x）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•黃埔區一模）對于函數y=f（x）與常數a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數f（x）的一個“P數對”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數f（x）的一個“類P數對”．設函數f（x）的定義域為R+，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一個“P數對”，求f（2n）（n∈N*）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一個“P數對”，且當x∈[1，2）時f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在區間[1，2n）（n∈N*）上的最大值與最小值；
（3）若f（x）是增函數，且（2，-2）是f（x）的一個“類P數對”，試比較下列各組中兩個式子的大小，并說明理由．
①f（2-n）與2-n+2（n∈N*）；
②f（x）與2x+2（x∈（0，1]）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）的定義域為R，若存在常數M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數都成立，則稱函數f（x） 為“倍約束函數”．給出下列函數，其中是“倍約束函數”的為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•順義區二模）對于定義域分別為M，N的函數y=f（x），y=g（x），規定：
函數h(x)=
f(x)•g(x)，當x∈M且x∈N
f(x)，當x∈M且x∉N
g(x)，當x∉M且x∈N

（1）若函數f(x)=
1
x+1
，g(x)=x2+2x+2，x∈R，求函數h（x）的取值集合；
（2）若f（x）=1，g（x）=x2+2x+2，設bn為曲線y=h（x）在點（an，h（an））處切線的斜率；而{an}是等差數列，公差為1（n∈N*），點P1為直線l：2x-y+2=0與x軸的交點，點Pn的坐標為（an，bn）．求證：
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
＜
2
5
；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常數，且α∈[0，2π]，請問，是否存在一個定義域為R的函數y=f（x）及一個α的值，使得h（x）=cosx，若存在請寫出一個f（x）的解析式及一個α的值，若不存在請說明理由．

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