Question

已知集合A={（x，y）||x|+|y|=4，x，y∈R}，B={（x，y）|x²+y²=r²，x，y∈R}，若A∩B中的元素所對應的點恰好是一個正八邊形的八個頂點，則正數r的值為

 

．

Answer 1

分析：根據題意，分析A可得，其表示由x+y=1，x+y=-1，x-y=1，x-y=-1圍成的正方形，而B表示一個圓心在原點，半徑為r的圓，若A∩B中的元素所對應的點即兩個圖象的交點恰好是一個正八邊形的八個頂點，作出圖形，求解可得答案．

解答：解：根據題意，對于A，
x≥0，y≥0時，有x+y=1，
x≥0，y＜0時，有x-y=1，
x＜0，y≥0時，有x-y=-1，
x＜0，y＜0時，有x+y=-1，
故A表示由x+y=1，x+y=-1，x-y=1，x-y=-1圍成的正方形，
而B表示一個圓心在原點，半徑為r的圓，
若A∩B中的元素所對應的點恰好是一個正八邊形的八個頂點，如圖，
則OA=r，OD=4，
易得OB=2

2

，
∠BOA=

π

8

，
有r=

2 2

cos π 8

．
故答案為r=

2 2

cos π 8

．

點評：本題考查絕對值不等式的意義，以及交集的意義，解題時要結合圖形，分析線段長度間的關系．