Question

【題目】正五邊形的對角線分別與對角線、交于點、，對角線分別與對角線、交于點、，對角線與對角線交于點. 設由圖2中的10個點、、、、、、、、、和線段構成的等腰三角形的集合為.

（1）求中元素的數目；

（2）若將這10個點中的每個點任意染為紅、藍兩種顏色之一，問是否一定存在中的一個等腰三角形，其三個頂點同色？

（3）若將這10個點中的任意個點染為紅色，使得一定存在中的一個等腰三角形，其三個頂點同為紅色，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1)35;(2)見解析；（3）6.

【解析】

（1）因為由圖2中的10個點、、、、、、、、、和線段構成的三角形均為等腰三角形，所以，.

（2）由抽屜原則，知、、、、中一定有三個點同色，且這三個點構成的三角形屬于，故一定存在中的等腰三角形，其三個頂點同色.

（3）若，則將、、、、染為紅色，于是，不存在屬于的頂點同為紅色的三角形.

若，當、、、、中有不少于三個紅點時，一定存在屬于且頂點同為紅色的三角形；當、、、、中不少于三個紅點時，、、、、中至少有四個紅點.

若、、、、中恰有四個紅點，不妨假設、、、為紅點，則、、、、中至少有兩個紅點，不妨假設的紅點，則是屬于且頂點同為紅色的三角形；否則，、同為紅色，于是，是屬于且頂點間同為紅色的三角形.

因此，的最小值為6.