Question

已知橢圓，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)組成等邊三角形，直線l經(jīng)過點(diǎn)F₂，傾斜角為45°，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．
（1）若|F₁F₂|=2，求橢圓方程；
（2）對(duì)（1）中橢圓，求△ABF₁的面積；
（3）M是橢圓上任意一點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得，試確定λ，μ的關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)組成等邊三角形，|F₁F₂|=2，即可求橢圓方程；
（2）△ABF₁的面積，可以以焦距長(zhǎng)為底，A、B縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高進(jìn)行求解；
（3）確定橢圓的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，設(shè)出直線AB所在直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及，同時(shí)利用點(diǎn)A，B在橢圓上，即可求得λ，μ的關(guān)系式．
解答：解：（1）由已知，可得，，
∵a²=b²+c²，∴，b=1，
∴橢圓方程為．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線，
代入橢圓方程，消去y可得，
∴，，，，
∴．
（3）由已知橢圓方程為x²+3y²=3b²①，右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，直線AB所在直線方程為②，
由①②得：，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，，
設(shè)M（x，y），由得，x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，
∵點(diǎn)M在橢圓上，∴，
整理得：，③
④，
又點(diǎn)A，B在橢圓上，故⑤，⑥，
將④⑤⑥代入③得λ²+μ²=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理是常用方法．