Question

設集合S?N^*，S≠∅，且滿足（1）1∉S；（2）若x∈S，則1+

12

x-1

∈S．
（1）S能否為單元集，為什么？
（2）求出只含兩個元素的集合S．
（3）滿足題設條件的集合S共有幾個？為什么？能否列舉出來．

Answer 1

分析：（1）S不是為單元集，通過題意推出方程，直接求解推出x的值即可說明；
（2）通過1+

12

x-1

∈S，利用1+

12

x-1

替換X，求出只含兩個元素的集合S，說明不存在即可．
（3）滿足題設條件的集合S，通過1+

12

x-1

∈N所以x-1必然是12的約數，然后一一列舉出來，即可．

解答：解：（1）不能，因為1∉S，x∈S且1+

12

x-1

∈S，
而1+

12

x-1

≠ 1，
如果S是單元素集，必須1+

12

x-1

=x，
解得x=1±2

3

，即S中至少存在兩個不同的元素，
所以S不是為單元集．
（2）因為1+

12

x-1

∈S，且x≠1，
用1+

12

x-1

替換X，
即1+

12

(1+ 12 x-1 )-1

=x而x≠1，
則1+

12

x-1

=x，所以（x-1）²=12，
則x=1±2

3

，而x∈N，所以x不存在，
即只含兩個元素的集合S不存在．
（3）因為1+

12

x-1

∈S，且x≠1，
用1+

12

x-1

替換X，
即1+

12

(1+ 12 x-1 )-1

=x，
所以S最多含有3個元素，
很明顯x∈N，且1+

12

x-1

∈N所以x-1必然是12的約數，
則x-1可以為1，2，3，4，6，12，
所以滿足條件的S共有6個．

點評：本題是中檔題，考查集合的參數的討論，集合中元素的性質，考查邏輯推理能力，計算能力．